布朗运动中的跨度

对于 $d \in \{1,2,3\}$，令 $(B^d_t;~ t \geq 0)$ 为 $d$ 维标准布朗运动。我们研究 $d$-布朗跨度集 $Span(d):=\{t-s;~ B^d_s=B^d_t~\mbox{for some}~0 \leq s \leq t\}$。我们证明几乎必然地随机集 $Span(d)$ 是 $\sigma$-紧且在 $\mathbb{R}_{+}$ 中稠密。此外，我们表明几乎必然地 $Span(1)=\mathbb{R}_{+}$； $Span(2)$ 的 Lebesgue 测度为 $0$ 且其特征为 $1$ 几乎必然；以及 $Span(3)$ 的 Hausdorff 维数为 $\frac{1}{2}$ 几乎必然。我们还列出若干猜想与开放问题。