基于随机舍入的重尾非独立同分布随机矩阵的最小奇异值

我们关注随机矩阵最小奇异值的小球概率行为。通常，建立此类结果在某种程度上涉及单位球面的离散化。这需要对矩阵范数进行估计，而后者又要求对矩阵元素的分布施加强假设，例如有界四阶矩（用于弱估计）、亚高斯尾（用于强估计），以及均值为零、方差为 1 等结构假设。最近，Rebrova 与 Tikhomirov 提出了一种不依赖于元素强尾假设的离散化过程。然而，他们的论证仍要求均值为零、方差为 1 的独立同分布元素等结构假设。本文中，我们讨论一种高效的单位球面离散化方法，它以指数级高概率生效，不需要任何此类结构假设，且进一步不要求矩阵各行独立。我们证明了球面附近网的存在性，其通过我们引入的正则化 Hilbert-Schmidt 范数，比较任意（确定性）随机矩阵在球面与网上的取值。这种改进是一种平均形式，并具有良好的大偏差性质。作为推论，我们在温和假设下给出了方阵最小奇异值以及在任意长宽比随机矩阵下的尖锐小球概率估计。