聚合物钉扎动力学的标度极限与一维 Stefan 冻结问题

我们考虑在基底存在下 1+1 维界面（或聚合物）的随机演化。该随机过程是齐次钉扎模型的动力学版本。我们从一个远离平衡的位形出发：具有非平凡宏观高度轮廓的聚合物，并考察时空重标度界面的演化。在两种情形下，我们证明该重标度界面在扩散标度下（两个空间维度均按 $L$ 重标度，时间按 $L^2$ 重标度，其中 $L$ 表示界面的长度）具有标度极限，并对其进行了描述：当与基底的相互作用使得系统在平衡态下处于脱钉状态时，高度轮廓的标度极限由带 Dirichlet 边界条件的热方程的解给出；当对基底的吸引力为无穷大时，标度极限由一个自由边界问题给出，该问题属于具有收缩边界的 Stefan 问题类，也称为 Stefan 冻结问题。此外，我们证明了该问题在边界发生碰撞的最大时间之前解的存在性与正则性。