规范群的 Samelson 积与有理同伦

本文研究在赋值纤维化 $ev_{p_0}:C(P,K)^K \to K$ 的长正合同伦序列中的连接同态，其中 $C(P,K)^K \cong Gau(P)$ 是闭可定向曲面或球面上连续主 $K$-丛 $P$ 的规范群。我们证明在此情形下，相应长正合同伦序列中的连接同态可由 Samelson 积给出。作为应用，我们利用这一对应得到 $\pi_2 (Gau(P_k))$ 的显式公式，其中 $P_k$ 表示 Chern 数为 $k$ 的 $S^3$ 上主丛 $S^4$，并导出有理同伦群 $\pi_n (Gau(P)) \otimes \Q$ 的显式公式。