Kleinberg小世界网络中的复杂传染路由

在Kleinberg小世界网络模型中，强联系被建模为基础网格中的确定性边，弱联系被建模为连接远程节点的随机边。通过弱联系将节点 $u$ 与节点 $v$ 连接的概率正比于 $1/|uv|^\alpha$，其中 $|uv|$ 是 $u$ 与 $v$ 之间的网格距离，$\alpha\ge 0$ 是模型参数。复杂传染指的是一种网络中的传播机制，其中每个节点仅在其 $k \ge 2$ 个邻居被激活后才被激活。在本文中，我们提出复杂传染路由（或复杂路由）的概念，即每时间步激活一个节点，最终目标是激活目标节点。我们考虑分散路由方案，其中仅揭示来自已激活节点的弱联系。我们研究复杂传染的路由时间，并将结果与简单路由和复杂扩散（复杂传染的扩散，即所有可被激活的节点在同一时间步立即被激活，最终目标是激活所有节点）进行比较。我们表明，对于分散复杂路由，路由时间在下界上由 $n$（网络中节点数）的多项式限定，对所有 $\alpha$ 范围无论在期望还是高概率下均成立（特别地，期望下 $\alpha \le 2$ 时为 $\Omega(n^{\frac{1}{\alpha+2}})$，$\alpha > 2$ 时为 $\Omega(n^{\frac{\alpha}{2(\alpha+2)}})$），而简单传染的路由时间在 $\alpha = 2$ 时具有多对数上界。我们的结果表明，复杂路由比复杂扩散更困难，并且在最优点处复杂传染的路由时间与简单传染相比呈指数级差异。