复杂传染在优先连接模型及其他时间演化网络中的快速传播

本文研究社交网络中复杂传染的传播速度。$k$-复杂传染从一组初始感染种子节点开始，任何具有至少 $k$ 个被感染邻居的节点都会被感染。简单传染（即 $k=1$）在小世界图中能迅速传播至整个网络。然而，复杂传染的快速传播似乎可能性较小且更为微妙；成功的案例在很大程度上取决于网络结构~\cite{G08,Ghasemiesfeh:2013:CCW}。我们的主要结果表明，复杂传染可以在包含优先连接模型~\cite{barabasi99emergence} 的一大类时间演化网络中快速传播。我们证明，如果将初始种子节点选为该类网络中最老的节点，$k$-复杂传染将在 $O(\log n)$ 步内覆盖包含 $n$ 个节点的整个网络。我们表明，初始种子节点的选择至关重要。如果在 PA 模型中均匀随机地选择初始种子节点，即使其数量为多项式级，复杂传染也会提前停止。优先连接模型中最老的节点往往具有高度数。然而，我们指出，真正促进复杂传染快速传播的实际上并非幂律度分布本身，而是此类模型的演化图结构。该族中的某些成员甚至不具有幂律分布。我们还证明了复杂传染在优先连接族的一个变体——复制模型~\cite{KumarRaRa00} 中同样传播迅速。最后，我们证明，当复杂传染在一般图上从任意初始种子节点集合开始时，判定被感染顶点的数量是否超过给定阈值是 $\mathbf{P}$-完全的。因此，人们无法期望对复杂传染在图中发生渗流的所有情形进行分类。