高维小世界网格中贪婪路由的紧下界

我们考虑 Kleinberg 著名的小世界图模型 (Kleinberg, 2000)，其中 D 维网格 $\{0,...,n-1\}^D$ 被增强，每个节点引出常数条额外的单向边。这些长程边是根据概率分布（增强分布）随机确定的，且对每个节点相同。Kleinberg 建议使用逆 D 次幂分布，其中节点 v 作为节点 u 的长程联系人的概率与 $||u-v||^{-D}$ 成正比。他指出，此类增强分布允许在生成的随机图中高效路由消息：贪婪算法（即在每个中间节点，消息沿使消息在 Manhattan 距离上最接近目标的链接传输）能找到任意两节点间期望长度为 $O(\log^2 n)$ 的路径。本文证明，对于任何均匀且各向同性的增强分布（即节点 u 拥有特定长程联系人 v 的概率独立于 u 和 v 的标签，而仅是 $||u-v||$ 的函数），贪婪路由的表现不会在渐近意义上更优。为了获得该结果，我们引入了一种新的证明技术：定义一种预算博弈，其中令牌在游戏板上移动，而玩家管理一个“概率预算”。在每一轮中，玩家将部分剩余概率预算押注于步长大小。步长大小根据玩家下注的概率分布随机选择。随后令牌根据所选步长大小取得进展，同时玩家的部分下注从其概率预算中扣除。我们证明了此类预算博弈的紧下界，然后通过归约获得了 D 维网格中贪婪路由的下界。