贪婪的局限：无向网络中的影响最大化再探

我们考虑无向图在线性阈值模型下的影响最大化问题（在网络中选择 $k$ 个种子以最大化期望总影响）。一方面，我们证明贪婪算法总能实现 $(1 - (1 - 1/k)^k + \Omega(1/k^3))$-近似，表明贪婪算法在无向图上的表现略优于同样适用于有向图的通用 $(1- (1 - 1/k)^k)$ 界。另一方面，我们通过给出一个例子表明对此界的实质性改进是不可能的，在该例子中贪婪算法至多获得 $(1- (1 - 1/k)^k + O(1/k^{0.2}))$ 近似。这一结果与此前关于独立级联模型的工作形成对比。如同线性阈值模型，贪婪算法在独立级联模型的有向图上获得 $(1-(1-1/k)^k)$-近似。然而，Khanna和Lucier证明，在无向图中，贪婪算法表现明显更好：对常数 $c > 0$ 有 $(1-(1-1/k)^k + c)$ 近似。我们的结果表明，令人惊讶的是，在线性阈值模型中不会出现此类改进。最后，我们证明在线性阈值模型下，近似比 $(1 - (1 - 1/k)^k)$ 在以下情况是紧的：1）图是有向的，或 2）顶点带权。换言之，在任一设定下，贪婪算法无法对任何正函数 $f(k)$ 实现 $(1 - (1 - 1/k)^k + f(k))$-近似。设定2)中的结果再次与Khanna和Lucier针对独立级联模型的 $(1 - (1 - 1/k)^k + c)$-近似结果形成鲜明对比，后者的 $(1 - (1 - 1/k)^k + c)$ 近似保证可扩展到顶点带权的设定。我们还讨论了向更一般设定（包括边加权图）的扩展。