全采纳反馈下影响最大化自适应间隙的更优界

在影响最大化（IM）问题中，给定一个社交网络与预算 $k$，我们寻找网络中 $k$ 个节点组成的集合（称为种子），以根据某种影响扩散随机模型，最大化由种子产生的影响级联所到达节点的期望数量。本文研究自适应 IM，其中节点逐个顺序选取，且第 $i$ 个种子的决策可基于前 $i-1$ 个种子所产生的观测级联。我们关注全采纳反馈（可观测每个先前所选种子的完整级联）以及独立级联模型（每条边关联一个独立的扩散影响概率）。我们的主要结果是首个对任意图均成立的次线性上界。具体而言，我们证明自适应间隙的上界为 $\lceil n^{1/3}\rceil$，其中 $n$ 为图中节点数。此外，我们将已知入树（in-arborescences）上的上界从 $\frac{2e}{e-1}\approx 3.16$ 改进至 $\frac{2e^2}{e^2-1}\approx 2.31$。最后，我们研究 $\alpha$-有界图（一类无向图，其中度数大于二的节点度数之和至多为 $\alpha$），并证明自适应间隙上界为 $\sqrt{\alpha}+O(1)$。此外，我们证明在 0-有界图（即每个连通分支为路径或环的无向图）中，自适应间隙至多为 $\frac{3e^3}{e^3-1}\approx 3.16$。为证明上述界，我们引入了将自适应策略与非自适应策略相联系的新技术，其本身或具独立意义。