四进制 Gray 码及其在解谜 Ziggurat 问题中的应用

我们研究解决新“Ziggu”族指数解谜问题的方法。该解谜包含 $p$ 件小件组成 $m$ 个迷宫。我们将谜题状态编码为 $n=m+1$ 位的四进制数，其中每一位给出一个迷宫中的水平或垂直位置。我们证明，最短解中访问的状态数为 $6 \cdot 2^n - 3n - 5$（OEIS A101946）。该解唯一且从起点生成方式如下：使最左边的修改不撤销上一次修改。将“最左边”替换为“最右边”则生成访问所有 $(3^{n+1} - 1)/2$ 个状态（OEIS A003462）的唯一最长解。因此，Ziggu 解谜可视为基于状态编码、有效状态或最小状态随额外迷宫数量增长的 $4$ 进制、$3$ 进制或 $2$ 进制解谜。经典 Gray 码解谜（如 Spin-Out）提供了自然比较基准。拥有 $p$ 件小件的 Gray 码解谜，其唯一解中状态数为 $2^p$（OEIS A000079）或 $\lfloor \frac{2}{3} \cdot 2^p \rfloor$（OEIS A000975）。Gray 码解谜解的访问状态遵循二进制反射 Gray 码。我们证明 Ziggu 解谜遵循四进制反射 Gray 码，因其最短和最长解均为该顺序的子列表。这些结果揭示了从起点解谜 Ziggurat 的方法。我们还提供 $O(n)$ 时间复杂度的排序、比较和后继算法，分别给出状态在解中的位置、两个状态的相对顺序以及下一个状态。虽然 Gray 码解谜具有更简单的递归描述和后继规则，但 Ziggu 解谜拥有更简单无循环的最短解生成算法。这两个家族共享一个比较函数。最后，我们丰富了 OEIS A101946 文献，通过在 Ziggu 状态和 $2 \times n$ Nurikabe 棋盘之间提供双射关系。