环形拼图推送数的近最优上界

我们研究环形拼图，这是一个独立游戏，其中输入 $m \times n$ 矩阵的元素需要通过一系列单位旋转（即圆形位移）的行和/或列的序列重新排列到目标配置中。Amano 等人提出了更宽松的变体，其中每行和列旋转可以按任意位置数位位移涉及的元素。求解原始和宽松变体的旋转次数分别称为 \emph{推送数} 和 \emph{拖曳数}，其中后者始终小于或等于前者且具有 $\Omega(mn)$ 的存在性下界。虽然该下界被 $O(mn)$ 上界所匹配，但推送数理解不够透彻。事实上，我们所知仅有 $O(mn \cdot \max\{ m, n\})$ 的上界。本文我们提供一个算法使用 $O(mn \cdot \log \max \{m, n\})$ 个单位旋转解决环形拼图，模型比原始拼图更受限制。这意味着相应的推送数上界将下界与已知上界之间的差距从 $\Theta(\max\{m,n\})$ 缩小到 $\Theta(\log \max\{m, n\})$。