有界资源搜索谜题的分析

考虑一个常见的谜题：给定 $k$ 个玻璃球，寻找一个最优算法以确定一栋 $n$ 层建筑中，被抛出的玻璃球会摔碎的最低楼层。该谜题最初以其原始形式提出于 \cite{focs1980} 中，随后在 \cite{algthc} 一书中被引用。有若干互联网站点介绍了该谜题及其在 $k=2$ 个球这一特例下的解。这是对该谜题一般形式的首次此类分析。该谜题的若干变体已被研究并应用于网络加载 \cite{cgstctl}，后者分析了一种类似于对手随时间改变最低楼层的场景。尽管 \cite{algthc} 中指定的算法能够解决该问题，但它并非高效算法。本文分析了针对同一问题的另一种算法。结果表明，若 $m$ 为所需的最少尝试次数，则当 $k \geq m$ 时有 $m = \log (n+1)$，而当 $k < m$ 时有 $1 + \sum_{i=1}^{k}{{m-1}\choose{i}} < n \leq \sum_{i=1}^{k}{{m}\choose{i}}$。