关于一组线性子空间的最小包围球

本文研究一组线性子空间的极小极大中心。当这些子空间是 $\mathbb{R}^n$ 的 $k$ 维子空间时，该问题可转化为在格拉斯曼流形 Gr$(k,n)$ 上寻找最小包围球的中心。对于不同维度的子空间，其背景变为格拉斯曼流形的不交并而非单一流形，问题不再良定义。然而，这些流形之间存在自然的几何映射，且对子空间在映射下的像有良定义的距离概念。在此背景下求解原问题会在每个组成流形上得到一个候选极小极大中心，但本身并不能直观说明哪个候选最能代表数据。此外，不同秩的解一般不构成嵌套关系，因此 deflationary 方法不足够，必须在每个流形上独立求解。我们提出并求解一个由极小极大中心秩参数化的优化问题。该解通过对偶上的次梯度算法计算。通过缩放目标函数并惩罚秩-$k$ 极小极大中心所损失的信息，我们联合恢复出最优维度 $k^*$ 以及位于最小包围球中心的中心子空间 $U^* \in$ Gr$(k^*,n)$，其最佳地代表数据。