码的二次包络与乘法算法的几何视角

我们引入线性码的二次包络概念，并给出其若干性质。随后我们证明，域上有限维代数的任意对称双线性乘法算法，均可通过对自然关联空间（即相应码的二次包络）上简单点（即次数为 1 且重数为 1 的点）的求值-插值获得。这也为某些问题提供了几何解答，例如：哪些线性映射实际上是乘法算法，或哪些码来自超码（如 Shparlinski-Tsfasman-Vladut 所问）。我们以实例说明，特别是描述了 Barbulescu-Detrey-Estibals-Zimmermann 为小代数计算的所有最优算法的二次包络。在我们的表述中，实际使用的是乘法归约。这是乘法算法的推广，允许例如在高次点和/或带重数点处的求值-插值，并也包含了最近由 Cascudo-Cramer-Xing-Yang 引入的“逆向乘法友好嵌入”概念。我们所有结果在此更一般的情形下均成立。