关于一个六元三次式的节能型 Manin-Peyre 猜想

利用第一作者近期的工作~\cite{Bet}，我们证明了 Manin-Peyre 猜想的一个强版本，对分别定义在 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$（具有双齐次坐标 $[x_1:x_2:x_3],[y_1:y_2,y_3]$）和 $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$（具有多重齐次坐标 $[x_1:y_1],[x_2:y_2],[x_3:y_3]$）中、由同一方程 $x_1y_2y_3+x_2y_1y_3+x_3y_1y_2=0$ 给出的两个簇，给出了带完整渐近项和节能型误差项的结论。由此我们改进了 Blomer、Br\"udern 和 Salberger 近期的工作 \cite{BBS}，并基于泛环面上的下降给出了不同于已有的证明（已有证明依赖调和分析 \cite{CLT}）——针对具有 $\mathbf{A}_1$ 奇点类型和三条直线的 6 次 del Pezzo 曲面情形。结合~\cite{Blomer2014} 或第二作者近期的工作 \cite{Dest2}，这完成了该方程的 Manin-Peyre 猜想的研究。