$D$跳在匹配幂律图中的威力

本文研究幂律图的带种子图匹配。假设两个边相关图是从具有幂律度分布的公共父图独立进行边采样得到。一组正确匹配的顶点对被随机选取并作为初始种子揭示。我们的目标是通过种子恢复两个图之间剩余的潜在顶点对应关系。不同于现有聚焦于在 $1$ 跳邻域中使用高度数种子的方法，我们开发了一种高效算法，利用在适当定义的 $D$ 跳邻域中的低度数种子。具体而言，我们首先基于其 $D$ 跳邻域中低度数种子的数量匹配一组具有适当度数的顶点对（我们称之为第一切片）。这显著减少了触发级联过程以匹配图其余部分所需的初始种子数量。在具有 $n$ 个顶点、最大度数 $\Theta(\sqrt{n})$ 和幂律指数 $2<\beta<3$ 的 Chung-Lu 随机图模型下，我们证明一旦 $D> \frac{4-\beta}{3-\beta}$，通过最优选择第一切片，在高概率下我们的算法能够正确匹配恒定比例的真实配对而没有任何错误，只要仅提供 $\Omega((\log n)^{4-\beta})$ 个初始种子。我们的结果实现了种子规模需求上的指数级减少，因为此前已知最佳结果需要 $n^{1/2+\epsilon}$ 个种子（对任意小常数 $\epsilon>0$）。基于合成和真实数据的性能评估进一步证实了我们的算法具有改进的性能。