路径上基于时间查询的源识别中自适应性的力量

我们研究基于扩散在少数被查询节点上的到达时间识别图上随机扩散过程源的问题。在图$G=(V,E)$中，均匀随机抽取一个未知源节点$v^* \in V$，并独立地从均值为$1$、方差为$\sigma^2$的高斯分布中抽取各边$e\in E$的未知边权$w(e)$（表示沿边的传播延迟）。然后算法通过查询节点$q \in V$并获知在由$w$加权的图$G$中$q$与$v^*$之间最短路径的长度来尝试识别$v^*$。我们考虑两种设置：非自适应，即所有查询节点必须提前确定；自适应，即每次查询可依赖于先前查询的结果。这两种设置均受该问题在传染病过程（源称为零号病人）中应用的启发，我们对此进行了详细讨论。我们刻画了当$G$为$n$节点路径时的查询复杂度。在非自适应设置中，$\sigma^2 \leq 1$时需要$\Theta(n\sigma^2)$次查询，$\sigma^2 \geq 1$时需要$\Theta(n)$次。在自适应设置中，有些令人惊讶地，当$\sigma^2 \leq 1/2$时仅需$\Theta(\log\log_{1/\sigma}n)$次，而当$\sigma^2 \geq 1/2$时仅需$\Theta(\log \log n)+O_\sigma(1)$次。这是首个在非确定性扩散过程中基于时间查询的源识别的数学研究。