图的多次极包与精细解析延拓

我们证明，若单位圆盘 $\mathbb D$ 中有界解析函数的图在 $\mathbb C^2$ 中不是完备多次极的，则其多次极包的闭包的投影包含点 $p \in \partial \mathbb D$ 的一个精细邻域。另一方面我们证明，若 $\mathbb D$ 中的解析函数 $f$ 延拓到定义在一点 $p \in \partial \mathbb D$ 的精细邻域上且在点 $p$ 精细解析的函数 $\mathcal{F}$，则 $f$ 的图的多次极包包含 $\mathcal{F}$ 在 $p$ 的更小精细邻域上的图。我们给出了若干具有此精细解析延拓性质的函数的例子。作为一个推论，我们得到了圆盘中具有非平凡多次极包的分析函数的新类型，其中包括闭单位圆盘上无处可解析延拓且具有无穷叶多次极包的 $C^\infty$ 函数。先前具有非平凡图的多次极包的例子都有精细解析延拓。