朗道哈密顿量的非交换几何：微分方面

在本工作中，我们研究磁 $C^*$-代数的非交换几何的微分方面，该代数是 $\mathbb{R}^2$ 的群 $C^*$-代数的一个 2-上循环形变。该代数与连续情形下的量子霍尔效应研究密切相关，我们的结果旨在为相关的久保公式提供新的几何解释。受 Bellissard 于 80 年代发展的思想启发，我们基于磁狄拉克算子（即量子谐振子的（狄拉克式）平方根）为磁 $C^*$-代数构建了一个适当的 Fredholm 模。我们的主要成果在于确立了 Bellissard 理论中的一个重要部分，即所谓的第二 Connes 公式。为此，我们证明了定义在磁 $C^*$-代数稠密子代数上的三个循环 2-上循环的相等性。其中两个 2-上循环在文献中是新的，由 Connes 的量子化微分演算借助 Dixmier 迹与磁狄拉克算子定义。