无-$\beta$ McMullen 博弈与完美集性质

给定目标集 $A\subseteq \mathbb{R}^d$ 与实数 $\beta\in (0,1)$，McMullen 引入了 $A$ 为绝对 $\beta$-获胜集的概念。这涉及一个二人博弈，我们称之为 $\beta$-McMullen 博弈。我们考虑移除参数 $\beta$ 的该博弈版本，称之为无-$\beta$ McMullen 博弈。更一般地，我们考虑关于 $\mathbb{R}^d$ 上任意范数的博弈，甚至更一般地关于一般凸集的博弈。我们证明，对于 $\mathbb{R}^d$ 中的严格凸集、$\mathbb{R}^d$ 中的多胞形以及 $\mathbb{R}^2$ 中的一般凸集，玩家 $\boldsymbol{I}$ 赢得无-$\beta$ McMullen 博弈当且仅当 $A$ 包含完美集，而玩家 $\boldsymbol{I}\kern-0.05cm\boldsymbol{I}$ 赢得当且仅当 $A$ 可数。因此，在这些情形下无-$\beta$ McMullen 博弈等价于 $A$ 的完美集博弈。这些结果的证明使用了博弈几何与逻辑技术之间的联系。由于该博弈的几何性质，此结果对 $\mathbb{R}^d$ 中不可数集的几何具有强烈启示。我们还给出了一个 $\mathbb{R}^3$ 中紧凸集的例子，我们的方法不适用于它，以及 D.\ Simmons 给出的 $\ell_2(\mathbb{R})$ 中闭凸集的例子，说明了进一步推广结果的障碍。