量子力学的现代工具（关于量子态、测量与操作的教程）

本教程旨在回顾量子力学的现代工具，这些工具适用于描述与环境以及各种测量和处理设备相互作用的、现实的、非孤立系统的态、测量和操作。我们强调了玻恩规则的核心作用，并阐述了密度算符的概念如何自然出现，以及混合态的纯化概念。在重新审视标准量子测量理论的公设时，我们探讨了如何对其进行形式上的推广，超越自伴算符和投影测量的描述，并说明这如何引向广义测量、概率算符值测度（POVM）和检测算符的引入。随后，我们陈述并证明了奈马克定理，该定理阐明了广义测量与标准测量之间的联系，并说明了如何物理实现一个广义测量。我们重新审视了两个非对易可观测量“不可”联合测量这一问题，并对其作为广义测量的标准实现进行了详细描述。最后，我们讨论了将一个量子态映射到另一个量子态的变换在物理上可容许所应满足的基本性质（通常由幺正性要求所概括），并引入了完全正性（CP）的概念。接着，我们陈述并证明了Stinespring/Kraus-Choi-Sudarshan膨胀定理，并阐明了量子操作的CP映射描述及其算符和表示，与量子演化的标准幺正描述之间的联系。我们还讨论了转置作为正映射但不完全正的一个例子，并提供了一些广义测量和量子操作的实例。