Minkowski $?(x)$ 函数、一类奇异测度、拟模形式与平均模形式。I

Minkowski 问号函数是一个丰富的研究对象，可以从动力系统、复动力学、度量数论、多重分形分析、转移算子、积分变换等视角进行探索，也可以作为函数本身通过分析连分数及其渐近分数进行研究。然而，我们的长期目标是获得 $?(x)$ 矩的算术解释（它们是 Maass 波形式周期的亲属），并将 $?(x)$ 函数与某些模对象联系起来。在本文中，我们建立了这种联系，不是将 $?(x)$ 嵌入到模世界本身，而是嵌入到我们称为平均模形式的推广函数空间中。为此，我们构造了一大类测度，并研究了同余子群的模形式，这些模形式额外满足三项函数方程。从这个角度来看，整个模群的模形式以及 $?(x)$ 的 Stieltjes 变换（二元周期函数）减去权重为 2 的 Eisenstein 级数，都归于同一个统一定义之下。主要结果是构建了拟模形式空间与平均模形式空间之间的规范同构。这给出了拟模形式意想不到的与 Minkowski 问号函数相关的解释。