单侧截断高斯与卡方分布的最大方差

本文探讨了单侧截断高斯分布（UTGD）和缩放卡方分布（UTSCD）在固定均值下的方差界。对于任意高斯分布函数 $f(x;\mu,\sigma)$，若在截断域 $x \ge a$ 上具有固定且有限的均值 $M$，则可证明其方差受限：具体而言，$\sup \mathrm{Var}(x)_{|x \ge a}= \sup \mathrm{Var}(x)_{|x \le a} =(M-a)^2$。对于固定截断值 $a$，方差可视为仅由 $M$、$a$ 和位置参数 $\mu$ 决定的函数。除此之外，还发展了用于模型标定的此类近似函数，以及其他相关标定方法。对于 UTSCD，数值证据表明，当自由度为正整数 $n$ 或维数，且固定有限均值时，方差 $\mathrm{Var}(R)$ 随 $R \in [a,\infty)$ 变化，其最大值 $M^2(\pi-2)/2$ 在 $a=0$、$n=1$ 时取得。对于固定截断值，方差作为函数的 $n$ 时存在局部最大值，导致最大方差维数 $n_{\mathrm{vmx}}$ 随截断值增大。然而，当 $n \in \mathbb{R}$ 时，随着截断值趋近于 0，$n_{\mathrm{vmx}}$ 趋近于 -1，而 $\mathrm{Var}(R)$ 似乎无限增长。