123避免排列中首次上升的位置

给定一个不含三项递增子序列的排列，其首次上升出现在哪个指标处是一个自然的问题。我们将通过递归和双射证明，首次上升出现在位置 $k,k+1$ 处的 123避免排列的数量由 $k$ 重 Catalan 卷积 $C_{n,k}$ 给出。对于 $1\le k\le n$，$C_{n,k}$ 同样被证明可枚举 $n$ 处于第 $k$ 个位置的 123避免排列的数量。作为结果，导出了两个与 Poisson 和几何随机变量间接相关的有趣的离散概率分布。