区间序的长度多面体

区间序 $P$ 的长度多面体 $Q_P$ 是区间表示中区间长度的整数向量构成的凸包。这一多面体已被 various 作者研究，包括 Fishburn 和 Isaak。值得注意的是，$Q_P$ 形成一个锥形仿射锥，这一属性继承自表示多面体的投影，这一结构也被 Doignon 和 Pauwels 探索。长度多面体的顶点对应于 Greenough 的最小端点表示，这实际上是规范区间表示的长度向量——一种最小化区间长度总和的区间表示。基于规范表示的组合学视角，我们细化了 Isaak 的图论模型，通过引入一种新的更简单有向图。从这些关键有向图的有向循环中，我们提取出精确刻画长度多面体 $Q_P$ 的线性不等式系统。这一组合方法还揭示了唯一的 Hilbert 基。我们证明，与这些二进制射的对应集合的交图是 Berge 图；因此它们是完美图。结果表明，对于宽度受限的区间序，长度多面体具有多项式大小的 Hilbert 基，可在多项式时间内计算。我们还提供了一个 Hilbert 基大小为指数级的区间序示例。在另一篇论文中我们确定长度多面体的 Schrijver 系统。我们以开放问题作结。