复杂振荡器网络与电网中的关键节点问题：电阻中心性识别局部脆弱性

在耦合个体系统集合中识别关键节点是网络理论中的一个基本问题。其起源可追溯到社会科学，并导致了基于图论中心性的排序算法。耦合动力系统与社会网络的不同之处在于，它们以具有确定性动力学的自由度为特征，且个体单元之间的耦合是这些自由度的明确函数。因此，人们预期由此产生的耦合动力学（而不仅仅是网络拓扑）也会决定关键节点。在此，我们研究可同步的网络耦合动力系统，例如高压电网和耦合振荡器。我们寻找那些一旦受到局部噪声扰动、便会产生最大整体瞬态偏离同步状态的节点。对耦合矩阵进行谱分解，可得到该识别问题的一个优雅、简洁而准确的解决方案。我们证明，当节点间耦合矩阵为拉普拉斯矩阵时，这些关键节点在由有效电阻距离定义的某种中心性度量意义下处于边缘位置。对于线性耦合动力系统，如轻载电网或一致性算法，无论运行同步状态如何，均可通过一次拉普拉斯矩阵求逆高效获得节点排序。我们将所得排序指标称为 LRank。对于重载电网或接近同步转变的耦合振荡器系统，非线性使得节点排序依赖于同步状态。此时，加权拉普拉斯矩阵求逆给出另一排序指标，我们称之为 WLRank。颇为令人惊讶的是，我们发现即使对于充分发展的耦合非线性（对应于振荡器相位差约达 $40^o$），LRank 仍能提供可靠的排序。