直线上点的信息内容与 $k$ 面扩展

我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 中位于直线上的点的算法信息内容的新型下界。更准确地说，我们证明任何直线 $\ell$ 上的典型点 $z$ 在每个精度 $r$ 下都满足 \begin{equation*} K_r(z)\geq \frac{K_r(\ell)}{2} + r - o(r) \end{equation*}。换言之，随机选择的直线上的点具有（至少）该直线复杂度的一半，加上其第一个坐标的复杂度。我们应用这一有效结果，以建立经典下界，说明当每个测度正子集被替换为整个 $k$ 面时，$k$ 面正子集的并集的 Hausdorff 维度可以增加多少。为证明复杂度下界，我们修改了 Cholak-Cs"ornyei-Lutz-Lutz-Mayordomo-Stull 最近的想法。