初值问题随机与量子复杂度的改进界

我们处理 [8] 中 initiated 的初值问题随机与量子复杂度问题。我们在 [8] 中表明，两种情形下相对最坏情形确定性复杂度均可能加速。本文中我们通过定义新算法证明，随机与量子复杂度的上界可获进一步改进。在具有 r 个连续有界偏导数的右端函数 Hölder 类中，其 r 阶导数为指数为 \rho 的 Hölder 函数，\epsilon-复杂度在随机情形下为 O((1/\epsilon)^{1/(r+\rho+1/3)})，在量子计算机上为 O((1/\epsilon)^{1/(r+\rho+1/2)})（至对数因子）。这是对 [8] 中一般结果的改进。仍存于复杂度上下界间的空隙对一特殊问题进一步讨论。我们考虑标量自治问题，旨在计算积分区间端点的解。对此问题，我们确立（本质上）匹配的上下复杂度界以填补空隙。我们表明该情形下随机复杂度阶为 (1/\epsilon)^{1/(r+\rho+1/2)}，量子情形下为 (1/\epsilon)^{1/(r+\rho+1)}（同样至对数因子）。