通过惩罚投影实现差分方程量子算法的任意边界条件与约束

复杂的边界条件对于准确描述自然界和工程中的现象至关重要。最近，人们越来越关注通过量子算法模拟此类现象所 governing 的常微分方程和偏微分方程是否存在潜在加速。我们设计了一种高效量子算法，用于求解具有任意边界条件的差分方程。具体而言，我们提出了通过在 governing 方程中添加惩罚投影来强制实现任意边界条件和约束的方法。假设投影具有可快速传递的表示，以确保高效的相互作用图模拟，强制约束的成本最多为$O(\log\lambda)$，其中$\lambda$为惩罚强度;在最坏情况下，这归为$O([\|v(0)\|^2\|A_0\| + \|b\|_{L^1[0;t]}^2)]t^2/\varepsilon)$，其中$\varepsilon$为精度，\frac{{\rm d}{{\rm d}t} v(t) = A_0(t) v(t) + b(t)为一个负半定的动力系统$A_0(t)$，其大小为$n^d\times n^d$。例如，对于热方程，这导致门控复杂度的开销为$\widetilde O(d\log n + \log t)$。我们给出惩罚方法的约束误差界，提供验证性数值实验，并使用线性组合哈密顿模拟估算电路复杂度。