三角范畴中关于刚性子范畴的指标

为了更好地理解揭示簇代数与表示论之间联系的Caldero-Chapoton映射，Palu在合适的三角范畴中定义了关于簇倾斜对象的指标。我们进一步推广此概念，提出关于反变有限刚性子范畴的指标，并证明该指标的行为类似于经典指标。设$\mathcal{C}$为一个具有分裂幂等元的骨架小三角范畴，因此它也是一个外三角范畴$(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$。假设$\mathcal{X}$是$\mathcal{C}$中的一个反变有限刚性子范畴。我们将对象$C\in\mathcal{C}$关于$\mathcal{X}$的指标$\mathrm{ind}_{\mathcal{X}}(C)$定义为相对外三角范畴$(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$的Grothendieck群$K_{0}(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$中的$K_{0}$-类$[C]_{\mathcal{X}}$。类比经典情形，我们给出了$\mathrm{ind}_{\mathcal{X}}$在$\mathcal{C}$中三角形上的带误差项可加性公式。当$\mathcal{X}$包含于$\mathcal{C}$的另一个合适子范畴$\mathcal{T}$中时，存在一个满射$Q\colon K_{0}(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{T}},\mathfrak{s}_{\mathcal{T}}) \twoheadrightarrow K_{0}(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$。因此，为描述$K_{0}(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$，只需确定$K_{0}(\mathcal{C},\mathbb{E}_{\mathcal{T}},\mathfrak{s}_{\mathcal{T}})$与$\operatorname{Ker} Q$。我们在某些假设下完成了这一工作。