特殊仿射群 $\mathbb{Z}^2$ 中的恒等问题

我们考虑特殊仿射群 $\mathsf{SA}(2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 \rtimes \mathsf{SL}(2, \mathbb{Z})$ 中的半群算法问题，该群是保持定向的格 $\mathbb{Z}^2$ 的仿射变换群。我们的论文聚焦于 Choffrut 和 Karhumäki（2005）引入的两个判定问题：恒等问题（一个半群是否包含中性元？）和群问题（一个半群是否为群？），针对 $\mathsf{SA}(2, \mathbb{Z})$ 的有限生成子半群。我们证明这两个问题都是可判定的且为 NP 完全。由于 $\mathsf{SL}(2, \mathbb{Z}) \leq \mathsf{SA}(2, \mathbb{Z}) \leq \mathsf{SL}(3, \mathbb{Z})$，我们的结果推广了 Bell、Hirvensalo 和 Potapov（2017）关于 $\mathsf{SL}(2, \mathbb{Z})$ 中两问题 NP 完全性的结论，并为 $\mathsf{SL}(3, \mathbb{Z})$ 中的开放问题贡献了第一步。