关于特殊线性群与 Heisenberg 群的单位元问题

我们研究了矩阵的单位元问题，即单位矩阵是否在由给定生成元集生成的半群中。特别地，继 ${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ 最近的 NP 完全性结果以及由 $48$ 个矩阵生成的 ${\rm SL}(4,\mathbb{Z})$ 的不可判定性结果之后，我们考虑了特殊线性群的单位元问题。首先，我们证明不存在从字对到行列式为 1 的 $3\times3$ 整数矩阵（即 ${\rm SL}(3,\mathbb{Z})$）的嵌入，这扩展了先前已知的不存在到 $\mathbb{C}^{2\times 2}$ 的嵌入的结果。除了该结果的理论重要性外，它还可以被视为 $\slthreez$ 中计算问题可判定的有力证据。该结果排除了将 Post 对应问题编码到 ${\rm SL}(3,\mathbb{Z})$ 中的最自然可能性，其中由右乘扩展的矩阵乘积对应于图灵机模拟。然后我们证明，对于 ${\rm SL}(3,\mathbb{Z})$ 的一个重要子群，即 Heisenberg 群 ${\rm H}(3,\mathbb{Z})$，单位元问题可在多项式时间内判定。此外，我们将 ${\rm H}(n,\mathbb{Q})$ 的可判定性结果扩展到任意维度 $n$。最后，通过开发一种新的归约技术，我们将 ${\rm SL}(4,\mathbb{Z})$ 中单位元问题的不可判定性结果中的生成元集大小界限从 $48$ 大幅减小到 $8$，从而缩小了这一长期悬而未决问题在可判定性上的差距。