Hurwitz 平方和问题随基场的依赖性

我们表明，Hurwitz 平方和问题的结果可依赖于基场。更准确地说，我们构造了一个在特征不同于 $2$ 且 $-1$ 为平方的每个场上均可实现的类型为 $[12,12,18]$ 的显式公式，而在任何形式上实的场上则不存在此类公式。这在否定意义上解决了一个由 Shapiro 提出的长期猜想。特别地，此类公式在 $\mathbb Q(i)$ 与 $\mathbb C$ 上可实现，但在 $\mathbb Q$ 或 $\mathbb R$ 上不可实现。