有限域上的Del Pezzo曲面及其Frobenius迹

设 $S$ 是有限域 $\mathbb F_q$ 上的光滑三次曲面。已知对于某个 $a \in \{-2,-1,0,1,2,3,4,5,7\}$，有 $\#S(\mathbb F_q) = 1 + aq + q^2$。Serre曾问对于给定的 $q$ 可能出现哪些 $a$ 值。基于Swinnerton-Dyer处理的特例，我们给出了该问题的完整答案。我们也回答了其他Del Pezzo曲面的类似问题，并考虑了有限域上Del Pezzo曲面的逆Galois问题。最后我们给出了Manin和Swinnerton-Dyer关于有限域上三次曲面的表格的修正版本。