可定义函数族的梯度极限具有变分分层

众所周知，光滑函数族的收敛并不意味着其梯度的收敛。在这项工作中，我们证明如果该族在o-极小结构（例如半代数、子解析或任何与exp、log组合的上述结构）中是可定义的，那么梯度极限具有变分分层，并且在温和假设下，是Bolte和Pauwels引入意义上的保守集值场。讨论了该结果对平滑方法收敛保证的直接意义。该结果以一般形式建立，其中原始族中的函数可能非Lipschitz连续、向量值，并且梯度被其Clarke Jacobian或满足可定义变分层分的任意映射所替代。在此过程中，我们研究了可定义变分层分的各种稳定性性质，这些性质可能具有独立的意义。