仿射 Coxeter 群中共轭的几何

我们为仿射 Coxeter群 $\overline{W}$ 中任意元素 $x,x'$ 的共轭类 $[x]$ 和 coconjugation 集 $\operatorname{C}(x,x') = \{ y \in \overline{W} \mid yxy^{-1} = x' \}$ 提供新的精确几何描述。$x$ 在 $\overline{W}$ 中的 centralizer 是特殊情况 $\operatorname{C}(x,x)$。我们描述 $[x]$ 的关键结构是其线性化 $w$（即 $x$ 的有限部分）的 mod-set ${Mod}_{\overline{W}}(w) = (w-\operatorname{I})R^\vee$，其中 $R^\vee$ 为 coroot 格。接着 $\operatorname{C}(x,x')$ 由 ${Mod}_{\overline{W}}(w')$（即 $x'$ 的有限部分）以及 $w'$ 的 fix-set 描述。对于关联有限 Weyl 群 $W$ 中的任意元素 $w$，其 mod-set 包含在经典 move-set ${Mov}(w) = \operatorname{Im}(w - \operatorname{I})$ 中。我们证明 ${Mod}_{\overline{W}}(w)$ 的秩等于 ${Mov}(w)$ 的维数，并进一步按类型系统地研究 ${\mathbb{Z}}$-模 {Mod}_\overline{W}(w) 的 surprisingly subtle 结构。作为推论，我们准确确定 ${Mod}_{\overline{W}}(w) = {Mov}(w) \cap R^\vee$ 的确切条件，在这种情况下，我们的闭式 $[x]$ 和 coconjugation 集描述最为简单。