光子位置算符的几何解释

我们证明，具有对易分量的光子位置算符 $\hat{\vec{X}}$ 可在动量表示中写为 $\hat{\vec{X}}=i \hat{\vec{D}}$，其中 $\hat{\vec{D}}$ 是切丛 $T(\mathbb{R}^3 \setminus \{ (0,0,k_3) \in \mathbb{R}^3 : k_3 \geq 0\})$ 上的平坦联络，该丛定义在装备了笛卡尔结构的 $\mathbb{R}^3 \setminus \{ (0,0,k_3) \in \mathbb{R}^3 : k_3 \geq 0\}$ 上。此外，$\hat{\vec{D}}$ 使得正交于动量的切 $2$-平面关于 $\hat{\vec{D}}$ 平行移动，并且 $\hat{\vec{D}}$ 是关于标量积 $\langle \mathbf{\Psi} | \hat{H}^{-2s} |\mathbf{\Phi} \rangle$ 的反厄米算符。我们求出了位置算符 $\hat{\vec{X}}$ 的本征函数 $\mathbf{\Psi}_{\vec{X}} (\vec{x})$。