Manin 猜想中 Batyrev 与 Tschinkel 例子的几何例外集

Batyrev 与 Tschinkel 的例子是一个 Fermat 三次曲面丛 $X$，它是一个 Fano $5$-fold。这是第一个 Manin 猜想对适当的闭例外集永远不成立的例子。近期，Lehmann、Sengupta 与 Tanimoto 提出了 Manin 猜想中例外集的一个猜想性几何描述，并证明其总包含于一个稀疏集（thin set）中。在特征 $0$ 的域上，我们显式构造有限多个稀疏映射，使得任意具有相等或更大 $a$-值与 $b$-值（按字典序）的稀疏映射 $f:Y\rightarrow X$ 都有理地通过其中之一分解。特别地，这定义了一个稀疏集，它与 Lehmann-Sengupta-Tanimoto 的猜想例外集重合。