恢复植入子图的基本极限

给定任意子图 $H=H_n$ 和 $p=p_n \in (0,1)$，植入子图模型定义如下。统计学家观察由随机副本 $H^*$ 的并集 $H^*$，以及以 $G(n,p)$ 形式的随机噪声组成的图。其目标是从观察到的图中恢复植入的 $H^*$。本文的关注点在于理解足够大的 $n$ 时的最小均方误差（MMSE）。最近的一篇文献[MNSSZ23]描述了在 $p$ 增加时， limiting MMSE 曲线从0到1之间发生尖锐相变的图，一种称为 all-or-nothing 现象的行为，除 $H$ 上的轻微密度假设外。在本文中，我们给出任意图 $H=H_n$ 的 limiting MMSE 曲线公式，除相同的轻微密度假设外。该曲线以 $H$ 的两个子图之间的变分公式表示，灵感来自概率组合文献[KK07]中著名的子图期望阈值。此外，我们给出了该变分问题优化器的多项式时间描述。这使得在 $n$ 足够大时，能够有效地近似计算任何稠密图 $H$ 的 MMSE 曲线。该证明依赖于 $H$ 的新颖图分解以及可能独立感兴趣的新型最小对偶定理。我们的结果推广到恢复任意单调布尔属性植入于随机噪声中的 minimax 率的设置，其中统计学家观察的是植入单调属性的最小元素 $A \subseteq [N]$ 与随机 $Ber(p)^{\otimes N}$ 向量的并集。在该设置下，我们给出一个变分公式，灵感来自所谓的“分数”期望阈值[Tal10]，再次描述了 large enough $n$ 时的 MMSE 曲线（这种情况下为倍数常数）。