对称旅行商问题的频率 $K_i$

研究对称旅行商问题（TSP）中的频率 $K_i$（$i\in[4,n]$），以刻画最优哈密顿回路（OHC）中边的结构属性。对于给定的 $K_i$ 中的一个频率，针对在完整图 $K_n$ 中具有固定端点的 $i$ 顶点最优路径（最优 $i$ 顶点路径）的集合 ${{i}\choose{2}}$ 个数目进行计算。在 $K_i$ 中，与 $K_i$ 相关的 OHC 边的频率大于 $\frac{1}{2}{{i}\choose{2}}$，而与 OHC 中不相关的普通边的频率小于 $2(n-3)$。此外，给定一个包含与 $K_n$ 相关的 OHC 边的频率 $K_i$，在平均情况下，该 OHC 边的频率大于 $\frac{1}{2}{{i}\choose{2}}$。还发现 OHC 边包含在最优 $i$ 顶点路径中的概率随着 $i\in[4,n]$ 增大或在 $i$ 减小至 $i+1\leq n$ 时保持稳定。当频率 $K_i$ 用于计算边的频率时，每个 OHC 边在 $i=P_0$ 处达到自身的峰值频率，其中 $P_0=\frac{n}{2} + 2$（当 $n$ 为偶数）或 $\frac{n+1}{2} + 1$（当 $n$ 为奇数）。对于 OHC 之外的每个普通边，概率在平均情况下随着 $i$ 增大而减小。此外，当 $i \geq i_d$ 时，普通边的概率确定性地减小，其中 $i_d = O(n^{\frac{4}{7}})$ 是满足不等式 $\frac{(n-2)(n-3) - (i_d-2)(i_d-3)}{(n-2)(n-3) - (i_d-1)(i_d-2)} \geq \sqrt{1 + \frac{2}{i_d(i_d+1)}}$ 的最小数值。基于这些发现，提出一种在 $O(n^2i_d^42^{i_d})$ 时间内找到 OHC 的算法，使用动态规划。对各种 TSP 实例执行实验以验证这些发现。