傅里叶比率及信号的复杂度

我们研究信号 $f:\mathbb Z_N\to\mathbb C$ 的傅里叶比率 $$\mathrm{FR}(f)\ :\ =\ \sqrt{N}\,\frac{\|\widehat f\|_{L^1(\mu)}}{\|\widehat f\|_{L^2(\mu)}} \ =\ \frac{\|\widehat f\|_1}{\|\widehat f\|_2},$$ 作为描述傅里叶侧复杂度、结构和可学习性的简单标量参数。利用 Bourgain--Talagrand 关于正交系统随机子集的理论，我们证明了集中于通用稀疏集合的信号必然具有较大的傅里叶比率，而小的 $\mathrm{FR}(f)$ 必须在 $L^2$ 和 $L^\infty$ 范下由低次三角多项式进行良好近似。定量地，类 $\{f:\mathrm{FR}(f)\le r\}$ 允许 $O(r^2)$ 阶的 $L^2$ 近似器，我们利用此来证明小傅里叶比率意味着小算法率失真，这是Kolmogorov复杂度的一个稳定细化。