不存在完全着色插值性质的均匀超图的存在性

1967 年，Harary、Hedetniemi 与 Prins 证明每个图 $G$ 对满足 $\chi(G) \le t \le \psi(G)$ 的每个 $t$ 均容许完全 $t$-着色，其中 $\chi(G)$ 表示 $G$ 的色数，$\psi(G)$ 表示 $G$ 的完全数，即 $G$ 容许完全 $r$-着色的最大 $r$。最近，Edwards 与 Rz\c a\.{z}ewski（2020）证明该结果对超图不成立，他们证明对每个满足 $k\ge 9$ 的整数 $k$，存在一个 $k$-均匀超图 $H$，其具有完全 $\chi(H)$-着色与完全 $\psi(H)$-着色，但对某个满足 $\chi(H)< t<\psi(H)$ 的 $t$ 无完全 $t$-着色。他们还询问是否存在此类 $3$-均匀超图示例，并提出另一问题以强化其结果。本文将他们的结果推广至所有满足 $k\ge 3$ 的情形，并通过给出若干类 $3$-均匀超图解决了他们的问题。特别地，我们反驳了 Matsumoto 与第三作者（2020）近期的一个猜想，该猜想提出一类特殊 $3$-均匀超图以满足所期望的插值性质。