Borel等价关系的有效理论

在Borel可归约性下对Borel等价关系的研究已发展成为描述集合论的一个重要领域。Silver和Harrington-Kechris-Louveau的二分法表明，关于Borel可归约性，任何严格高于$\omega$上相等关系的Borel等价关系都高于${\cal P}(\omega)$（$\omega$的幂集）上的相等关系，而任何严格高于实数上相等关系的Borel等价关系都高于${\cal P}(\omega)$上的模有限相等关系。本文通过研究有效Borel可归约性下的有效Borel等价关系，考察了这些结果及相关结果的有效内容。即使对于只有有限个等价类的等价关系，所得到的结构也是复杂的。然而，使用Kleene的$O$作为参数足以恢复非有效设定下的图景。一个关键引理是存在两个有效Borel实数集，使得在任意有效Borel函数下，其中一个都不包含另一个的值域；该结果的证明将Barwise紧致性应用于Harrington的一个深刻定理，该定理断言对于任何递归序数$\alpha$，存在$\Pi^0_1$单点集，其$\alpha$跳跃是Turing不可比较的。