中等对比度纳米粒子簇生成的等效介电常数与磁导率

在 $3D$ 有界且 $C^{1, \alpha}$ 光滑的区域 $\Omega$ 中，$\alpha \in (0, 1)$，我们分布了一簇具有中等对比度相对介电常数与磁导率的纳米粒子，该介电常数与磁导率可以是各向异性的。我们证明，此类粒子簇生成的等效介电常数与磁导率可由固定形状的相应电极化张量与磁极化张量显式刻画。对应于粒子簇与等效介质的散射场近似误差与稀释参数 $c_r:=\frac{\delta}{a}$ 成反比，其中 $a$ 为纳米粒子的最大直径，$\delta$ 为它们之间的最小距离。比例常数由纳米粒子簇的先验界（即其介电常数与磁导率参数的上下界、稀释参数 $c_r$ 的上界、所用的入射频率以及区域 $\Omega$）给出。分析的一个关键点是证明在 \cite{AM} 中推导的介观尺度近似中出现的 Foldy-Lax 场是具有相关等效介电常数与磁导率对比度的（连续）Lippmann-Schwinger 方程组的离散形式。为了推导这一点，我们证明了 Maxwell 系统的 Lippmann-Schwinger 算子在 H"{o}lder 空间中是可逆的。作为副产品，这表明了电磁场直至非均匀体边界的 H"{o}lder 正则性性质。