数字动力学：用Galperin台球计算π

在Galperin台球中，两个与硬壁碰撞的小球构成了数π各位数字的一种模拟计算器。这一经典的一维三体系统（将硬壁计入）在由两粒子质量比所决定的进制下计算π的数字。该进制可以是任意整数，也可以是无理数，甚至进制本身可以是π。本文回顾了Galperin台球的已有结果，并将这些结果进一步推进。我们给出了小球位置与速度作为碰撞次数和时间函数的完整显式解。我们证明了Galperin台球可映射到一个两粒子Calogero型模型。我们对任意质量比识别出一个第二动力学不变量，它给出了系统的可积性；并对一系列特定质量比识别出一个第三动力学不变量，它建立了超可积性。可积性使我们能够推导一些轨迹的新精确结果，并将这些解应用于分析用Galperin台球计算π数字时出现的系统误差，包括具有无理数进制的奇特情形。