亏缺重列、MacPherson-Vilonen 构造与 pp 公式

对任意阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$，Auslander 构造了一个称为亏缺的局部化 $w:\mathrm{fp}(\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathrm{Ab})\to \mathcal{A}$，它是 Yoneda 嵌入 $Y:\mathcal{A}\to\mathrm{fp}(\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathrm{Ab})$ 的左伴随。若 $\mathcal{A}$ 有足够投射，则该局部化是一个称为亏缺重列的重列的一部分。我们证明该重列是 MacPherson-Vilonen 构造的实例当且仅当 $\mathcal{A}$ 是遗传的。我们还讨论了 $\mathrm{fp}(\mathcal{A}^{\mathrm{op}},\mathrm{Ab})$ 中作为亏缺重列典范特征出现的几个子范畴，并通过它们的投射表示性质及与其他子范畴的正交性来刻画它们。我们将亏缺重列的某些部分应用于模的模型论。设 $R$ 为环，$\phi/\psi$ 为 pp-对。当 $R$ 是 Artin 代数时，我们证明存在最小的 pp 公式 $\rho$ 使得 $\psi\leqslant\rho\leqslant\phi$ 且在内射对象上与 $\phi$ 一致，并存在最大的 pp 公式 $\mu$ 使得 $\psi\leqslant \mu\leqslant \phi$ 且 $\psi R=\mu R$。当 $R$ 是左凝聚环时，我们证明存在最大的 pp 公式 $\sigma$ 使得 $\psi\leqslant\sigma\leqslant \phi$ 且在内射对象上与 $\psi$ 一致，且 pp-对 $\psi/\phi$ 同构于一个 pp 公式当且仅当 $\psi=\sigma$，并存在最小的 pp 公式 $\nu$ 使得 $\psi\leqslant \nu\leqslant\phi$ 且 $\phi R=\nu R$。我们还证明，对任意 pp-对 $\phi/\psi$，$w(\phi/\psi)\cong (D\psi)R/(D\phi)R$，其中 $D$ 是 pp 公式的初等对偶。我们还给出了用 $\phi$ 和 $\psi$ 的自由实现表示 $w(\phi/\psi)$ 的表达式。