正则语言与有向仿真器的亏格可判定性

本文延续我们对正则语言 $L$ 的亏格的研究，其定义为所有识别 $L$ 的有限确定性自动机的亏格中的最小者。此处我们定义并研究有向图上的两个紧密相关的工具：有向仿真器与自动关系。有向仿真器态射本质上在图论层面封装了到最小确定性自动机上的满同态。自动关系是 Myhill-Nerode 关系的图论版本。我们证明一个自动关系决定一个有向仿真器态射，反之，一个有向仿真器态射在同构意义下决定一个自动关系。考虑 $L$ 的最小确定性自动机的底层有向图的所有有向仿真器组成的集合 $S$。我们证明 $L$ 的亏格为 $\underset{G \in S}{\min}\ g(G)$。我们还考虑了更具限制性的有向覆盖概念，并证明 $L$ 的亏格可在 $L$ 的最小确定性自动机底层有向图的有向覆盖类中达到。这与我们所同时考虑的无向仿真器与无向覆盖形成鲜明对比。最后我们证明，若确定有向图的有向仿真子最小亏格问题可解，则确定无向图的无向仿真子最小亏格问题亦可解。