随机重置的代价

重置一个随机过程已被证明能够加快某些复杂任务（例如首次找到目标）的完成时间。在此我们考虑重置的代价，通过对每次重置关联一个代价，该代价是重置事件中所行进距离的函数。我们计算了首次通过时间 $t_f$、重置次数 $N$ 与总重置代价 $C$ 的联合概率的拉普拉斯变换，并由此研究总代价的统计性质以及完成时间 ${\mathcal T} = C + t_f$。我们表明，在重置率趋于零的极限下，对于线性代价函数，平均总代价有限；对于次线性代价函数，平均总代价趋于零；而对于超线性代价函数，平均总代价发散。这一结果不同于无重置的情形，后者代价恒为零。我们还发现，相对于无重置代价的情形，优化平均完成时间的重置率可能根据代价函数的选择而增大或减小。对于指数增长的代价函数，我们证明平均总代价在有限重置率处发散。我们通过证明代价的分布具有幂律尾部，且其指数连续变化并依赖于重置率，对此作出解释。