$r$-Approval 的控制复杂性：从单峰情形到一般情形

我们研究了 $k$-峰选举中 $r$-Approval 控制问题的复杂性，其中每张选票关于候选人的排序最多允许 $k$ 个峰。我们表明，一般选举中的大多数 NP 难结果在 $k$-峰选举中依然成立，即使对于 $k=2,3$ 也是如此。另一方面，我们针对 $k=2$ 的某些问题推导出了多项式时间算法。我们所有的 NP 难结果也适用于 Approval 以及基于真诚策略偏好的 Approval。我们的研究针对本文所考虑的问题，关于 $k$ 和 $r$ 的值得出了许多二分法结果。此外，我们从参数复杂性的角度研究了 $r$-Approval 控制问题，并针对解的大小获得了固定参数易处理性结果和 W-难结果。在探索控制问题复杂性的过程中，我们获得了两个具有独立意义的副产品。首先，我们证明了每个最大度为 3 的图都允许一种特定的 2-区间表示，其中对应于每个顶点的 2-区间包含一个平凡区间，且 2-区间仅可在区间的端点处相交。其次，我们针对解的大小开发了一种广义 $r$-集 packing 问题的固定参数易处理算法，其中给定全集中的每个元素允许在解中的多个 $r$-子集中出现。