永恒暴胀中离散轨迹的连续统

我们在由样本空间、$\sigma$-代数和概率测度定义的三元组所构成的经典概率空间背景下讨论永恒暴胀。我们表明，测度问题源于将可列可加性公理应用于可列无限样本空间的最大$\sigma$-代数。若将体时空视为样本空间，且由于局部量子不确定性而认为其有效可列无限，这将是一个严重问题。然而，在永恒暴胀的半经典描述中，物理空间呈指数膨胀，使得无限轨迹的样本空间变为不可列，且（未来）边界空间有效连续。此时，通过在轨迹连续统上或全息地在未来边界上定义概率测度，可以解决测度问题。我们论证了，在永恒暴胀的树状结构对称性下不变的概率测度，可由单位区间上的勒贝格测度生成。根据维塔利定理，勒贝格测度会使某些集合没有测度，这意味着永恒暴胀中存在某些无法回答的概率问题。